Löse die Gleichungen über der Grundmenge
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Da bei dieser Gleichung die gesuchte Variable im Exponenten vorkommt, handelt es sich bei der Gleichung um eine Exponentialgleichung.
Allgemeine Erklärungen und Hilfe zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du im Serlo-Artikel zur Exponentialgleichung.
Umformung: \ln\left(...\right)
Wende die -Funktion an.
Da die Umkehrfunktion zu darstellt, heben sich und auf.
In die Lösungsmenge schreibst du aber besser das exakte Ergebnis.
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Wenn du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwendest, erhältst du:
Da die Zahl -3 aber nicht in der Definitionsmenge des Logarithmus enthalten ist, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.
Die Lösungsmenge ist also die leere Menge:
Alternative Lösung
Mit den Potenzgesetzen, kannst du den Term auf der linken Seite umschreiben:
Hier kannst du nun erkennen, dass auf der linken Seite quadriert wird und dabei (in den reellen Zahlen) niemals eine negative Zahl, wie -3, herauskommen kann.
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Zuerst teilst du beide Seiten durch , so dass der Term mit dem alleine links steht. Danach wendest du den natürlichen Logarithmus auf die Gleichung an. Da er die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, verschwindet diese.
Anschließend stellst du die Gleichung um, in dem du die abziehst und anschließend durch teilst.
Als Lösungsmenge erhältst du:
Lösung ohne Runden
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In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Gleichung mit einem Logarithmus.
Zuerst teilst du durch , damit nichts mehr vor dem "" steht. Danach wendest du die Exponentialfunktion auf beide Seiten an, so dass das alleine steht. Dann erhältst du die Lösung:
Alternativ kannst du natürlich auch den Wert von noch berechnen und erhältst:
.
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In dieser Aufgabe geht es darum eine Gleichung mit einem Logarithmus zu lösen.
Als Erstes wendest du die Rechenregeln des Logarithmus an, um die linke Seite der Gleichung umzustellen.
Nun wendest du auf beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an. Und teilst anschließend durch .
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Rechnen mit e und ln
Verwende die Potenzregel für Logarithmen.
Dividiere auf beiden Seiten
Schreibe als und wende die Potenzregel für Logarithmen an.
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Verwende die Produktregel für Logarithmen.
Forme
zu einem Bruch um, erweitere zu
und subtrahiere auf beiden Seiten.
Verwende auf beiden Seiten die Potenzregel für Logarithmen.
Vereinfache auf der rechten Seite (Potenz ausrechnen, Logarithmen subtrahieren, es bleibt 0 im Zähler und daher 0 auf der rechten Seite).
Subtrahiere auf beiden Seiten 2.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Schreibe die Gleichung so um, dass auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus angewendet werden kann.
2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
3) Die erhaltene Gleichung ist eine quadratischen Gleichung. Löse diese dann mit der p-q-Formel.
In dieser Aufgabe geht es darum, eine Gleichung mit einer e-Funktion zu lösen. Der Definitionsbereich für diese Gleichung ist .
1) Schreibe die Gleichung um
Addiere auf beiden Seiten der Gleichung
2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
Betrachte zunächst die linke Seite der Gleichung und verwende die Potenz zu Produkt Regel an.
Wende auf der rechten Seite der Gleichung die Produkt zu Summe Regel und anschließend die Potenz zu Produkt Regel an.
Beachte auf beiden Seiten, dass ist.
3) Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung und .
Du hast nun eine quadratische Gleichung erhalten.
Löse die quadratische Gleichung mit der p-q- Formel.
, also ist die Lösungsmenge:
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Hier geht es hauptsächlich um den natürlichen Logarithmus und die Rechenregeln für Logarithmen.
Verwende links die Quotientenregel für Potenzen.
Vereinfache links und wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
Verwende auf beiden Seiten die Potenzenregel für Logarithmen und die Tatsache, dass
ist.
Subtrahiere auf beiden Seiten 3 und dividiere durch 3.